Juros e a Proporcionalidade#
Os conceitos de juros e proporcionalidade são fundamentais para compreender como o dinheiro cresce ao longo do tempo e como diferentes valores se relacionam em situações financeiras. Entender essas relações nos ajuda a tomar decisões conscientes sobre empréstimos, investimentos e compras parceladas, essa é a importância do estudo da proporcionalidade nos juros simples e compostos.
1. Cite ao menos três situações do cotianos que já ouviu a palavra JUROS?
Sugestão!
Em todos os tipos de conta a prazo, contas atrasadas…
2. A proporcionalidade na educação financeira está diretamente conectada ao conceito de porcentagem. Mas o que é porcentagem? Exemplifique.
Compare sua resposta!
Certa parte de \(100\), divisão por cento ou a cada \(100\). Exemplo: \(10\%\) de \(500\) é \(\frac{10}{100} \cdot 500 = 50\)
3. O valor inicial numa negociação de empréstimo é chamado de Capital e o valor a ser cobrado ou pago a mais é chamado de Juros. Como chamamos o valor referente ao juros em porcentagem (%)?
Compare sua resposta!
Taxa de juros, comumente se usa a letra i.
Atividade 1
Numa loja de roupas uma calça jeans custa \(R\$200\) reais, e a vista tem \(10\%\) de desconto. Calcule o valor a ser pago com desconto.
Compare sua resposta!
Calculando primeiro o valor a ser descontado: \(10\%\) de \(200\) é \(\frac{10}{100}\cdot 200 = 20\). Então subtraímos o desconto do valor inicial \(200-20=180\) reais
Contextualizando:
Juros é o valor acrescido a empréstimos ou investimentos, funcionando como um aluguel do dinheiro emprestado. Quando a situação é um empréstimo, a pessoa que adquiriu o empréstimo pagará juros. Quando é investimento, a pessoa que investiu receberá os juros como lucro. O valor inicial é o Capital e o valor final, após determinado período de juros é chamado montante.
Usaremos:
C = capital ou valor inicial
i = taxa de juros em porcentagem
t = tempo
J = Juros; sendo J = C.i.t
M = Montante; sendo M = C+J
4. Considerando as nomenclaturas para Montante, Capital e Juros. Explique o que é Montante apresentando um exemplo.
Sugestão!
Montante: é o valor final, composto pelo capital (valor inicial) e o juro. Exemplos em situações de empréstimos, contas atrasadas ou compras parceladas.
Atividade 2: Consideremos as seguintes situações problemas
a) Santos está com dificuldades financeiras esse mês, para conseguir quitar suas dívidas, precisou emprestar dinheiro. Emprestou do banco 200,00 reais e precisará devolver 210,00. Qual foi o acréscimo em reais? E em porcentagem?
b) Uma peça de roupa custa 100,00 reais. No cartão de crédito é possível parcelar em 9 vezes de 12,00 reais. Foi adicionado juros? Quanto?
Sugestão!
a) Montante - capital = juros. Para calcular a porcentagem é apenas utilizar regra de três com as variáveis: valor do capital, porcentagem 100% e valor do juros.
b) calcular o valor total pago e verificar a diferença entre montante e capital.
Atividade 3 Um capital de \(R\$ 2000,00\) reais é aplicado à taxa de juros de \(5\%\) ao mês por 6 meses. Calcule o Juros e o Montante sob regime de juros simples.
Confira sua resposta!
Juros: \(J=2000.\frac{5}{100}.6 = 600\) Montante: \(M= 2000+600 = 2600\)
Atividade 4
Explique com suas palavras como a proporcionalidade aparece no cálculo de juros.
Sugestão!
Volte na definição de porcentagem da atividade 2 e relacione sua resposta a esse conceito
Há dois tipos de juros utilizados nas operações financeiras: juros simples e juros compostos. E podemos relacioná-los à funções.
JUROS SIMPLES
No juro simples a taxa de juros é aplicada periodicamente sobre o valor do Capital, isto é, o crescimento do juro e montante são lineares, todos os meses aumentará o mesmo valor. Com isso podemos estabelecer uma função afim \(f\) relacionando tempo \(x\) a montante \(f(x)\).
f(x) = C + C.i.x
Exemplo 1
Um investidor aplicará a juro simples um capital de \(R\$1450,00\) reais com taxa mensal de \(5\%\). Logo \(f(x)= 1450 +1450.0,05x\)
Atividade 5: Calcule o montante na situação exemplificada, considerando o tempo de 5 meses.
Sugestão!
\(f(\textcolor{red}{x})= 1450 + 1450.0,05.\textcolor{red}{x} = 1450 + 362,5 = 1812,50\)
5. Se o capital e o tempo dobrarem sob regime de juros simples, o juro também dobra? Isso é considerado uma proporção direta? Justifique.
Dica!
Considere exemplos numéricos, Capital de \(R\$1000\) aplicado por 1 mês e de \(R\$2000\) aplicando por 2 meses a juro de 1% ao mês.
Atividade 6
Represente a situação do item 5 usando a relação \(J= C.i.t\).
Confira sua resposta!
\(J_1=C.i.t\) e \(J_2= 2C.i.2t = 4C.i.t\) então \(J_2= 4.J_1\)
6. O que significa a expressão JUROS SOBRE JUROS?
Sugestão!
Pense no que acontece quando os juros de um período são somados ao valor inicial.
JUROS COMPOSTOS
No juro composto a taxa de juros é calculada sobre o saldo do mês anterior, isto é, calcula-se também o juro sobre juros já aplicados anteriormente. O cálculo do montante é dado pela fórmula
Com isso, podemos estabelecer uma função exponencial \(g\) ao relacionar tempo \(x\) ao montante \(g(x)\).
Exemplo 2
Um investidor aplicará a juro composto um capital de 1400,00 reais com taxa de 5% ao mês. Logo \(g(x)= 1400 . 1,05^x\).
7. Podemos afirmar que no regime de juros composto é possível estabelecer uma relação de proporcionalidade entre o juros e o tempo de aplicação, já que ao aumentar ou diminuir um o outro automaticamente aumentará? Justifique.
Sugestão!
Compare o que acontece no primeiro período com o que acontece nos períodos seguintes, refleta se os juros de cada período são sempre iguais ou se aumentam com o tempo.
Atividade 7
Um capital de R$ 2000,00 reais é aplicado à taxa de juros de 5% ao mês por 6 meses.
a) Calcule o Juro e o Montante mês a mês sob regime de juros composto.
b) Compare o resultado do sexto mês com o resultado da Atividade 3.
Confira suas respostas!
a) 1º mês: \(J_1 = 100\) e \(M_1 = 2100\); 2º mês: \(J_2 = 105\) e \(M_1 = 2205\); 3º mês: \(J_3 = 110,25\) e \(M_3 = 2315,25\); 4º mês: \(J_4= 115,76\) e \(M_4= 2431,01\); 5º mês: \(J_5 = 121,55\) e \(M_5= 2552,56\); 6º mês: \(J_6 127,63= \) e \(M_6 = 2680,19\)
b) Certo capital aplicado em determinado período, com mesma taxa percentual resulta sob regime dos juros simples um total de juro de \(R\$ 600,00\) e dos juros compostos de \(R\$ 680,19\).
8. O gráfico abaixo representa os exemplos 1 e 2, que tem a mesma taxa percentual aplicados em regimes de juros e capitais distintos no decorrer dos meses. A partir de que mês o montante da aplicação do juro composto será superior a aplicação do juros simples?
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9. Considerando o gráfico apresentado, avalie qual regime de juros se mostra mais vantajoso ao longo do tempo. Justifique sua resposta com base no comportamento dos montantes, explicando por que, a partir de determinado mês, um regime supera o outro
Sugestão!
Analise o comportamento das duas curvas no gráfico e verifique qual delas cresce de forma mais acelerada ao longo do tempo e pense no efeito do juro sobre juro. Utilize essas observações para justificar qual regime se torna mais vantajoso e em que tipo de prazo isso acontece.
Atividade 8
Considere um capital inicial de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 10% ao ano, nos regimes de juros simples e juros compostos, pelos prazos de 1, 2, 3, 4 e 5 anos.
a) Organize os valores dos montantes em uma tabela comparativa para os dois regimes de juros.
b) Analise o comportamento do crescimento dos montantes ao longo do tempo, identificando onde a proporcionalidade é mantida e onde deixa de ser.
c) Avalie qual regime de juros é mais vantajoso ao longo do prazo analisado e justifique sua conclusão, utilizando como critérios os dados da tabela e o conceito de proporcionalidade.
Sugestão!
a) Apoie-se nas tabelas do gráfico Juros simples x Juros compostos b) Retorne ao conceito de proporcionalidade
10. Discussão em grupo: Um investidor afirma que juros compostos são desproporcionais com relação ao tempo. Vocês concordam ou não? Justifique e exemplifique com cálculos comparativos.
Exemplo de situação problema
Um jovem pretende guardar dinheiro para realizar um objetivo pessoal no futuro. Ele dispõe de um capital inicial e está em dúvida entre duas opções de aplicação financeira: uma com juros simples e outra com juros compostos, ambas com a mesma taxa de juros.
DESAFIO FINAL
Elabore um problema original do cotidiano que envolva juros simples e/ou compostos e destaque a noção de proporcionalidade.
a) Defina capital inicial, taxa de juros e prazo da aplicação.
b) Construa o gráfico comparativo apresentando os montantes nos regimes de juros simples e composto.
c) Analise se a relação entre tempo e montante é proporcional em cada caso. Qual opção é mais vantajosa para o objetivo apresentado? Justifique sua escolha.
d) O juro composto pode ser vantajoso quando o tempo é aliado. Justifique a afirmativa.
Sugestão!
Basei-se no Exemplo de situação problema acima. b) Para a construção do gráfico, use o modelo de gráfico abaixo alterando os valores.
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