Proporcionalidade na Educação Financeira#
A noção de proporcionalidade manifesta-se em diferentes contextos do cotidiano, sendo particularmente relevante no campo das finanças. Ao abordar grandezas direta ou inversamente proporcionais no âmbito da educação financeira, estabelece-se, em essência, uma relação entre recursos monetários e padrões de consumo.
1. Em matemática, a razão entre dois valores representa a divisão entre eles. E o que representa a palavra proporção?
Exemplo
Uma caneta custa \(R\$ \ 2,00\), duas canetas custam o dobro, isto é \(R\$ \ 4,00\).
2. O que significa dizer que duas grandezas são:
a) Diretamente proporcionais?
b) Inversamente proporcionais?
Atividade 1:
Cite um exemplo numérico de situação financeira que represente cada caso.
a. Exemplo I: Grandezas diretamente proporcionais
Sugestão!
O custo total da compra de acordo com a quantidade de itens do mesmo produto.
b. Exemplo 2: Grandezas inversamente proporcionais
Sugestão!
Valor total a pagar de uma dívida parcelada com relaçao a quantidade de parcelas pagas.
3. Um celular custa R$ 1.800,00 e pode ser pago em até 6 parcelas iguais sem juros.
a) Qual o valor de cada parcela?
b) Explique por que esse cálculo representa uma relação de proporcionalidade.
Sugestão!
a) Dividimos o valor total do celular pelo número de parcelas. b) Cada parcela representa 1 proporção da dívida.
O gráfico a seguir essa situação do celular parcelado, considerando o valor da parcela como sendo o fator de proporcionalidade, e conforme os meses aumentam, maior é o total do valor pago acumulado.
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4. No gráfico acima, os pontos representam a relaçao entre a parcela e o total do valor pago acumulado até o referido mês. E a linha tracejada, o que ela representa?
Vale destacar
Se ocorressem pagamentos contínuos, poderíamos determinar uma função Afim, que relaciona o tempo (\(x\)) à divida paga (\(y=f(x)\)), conforme representado no gráfico acima.
Na compra parcelada do celular, alterando o número de parcelas, quanto maior o número de parcelas, menor será o valor de cada uma; e quanto menor o número de parcelas, maior será o valor de cada uma, mas a soma de todas as parcelas mantém-se sempre igual ao valor do produto.
5. Sabendo disso, a relação entre o número de parcelas e o valor de cada parcela é:
( ) Diretamente proporcional
( ) Inversamente proporciona
Confira sua resposta:
(x) Inversamente proporcional, pois quanto maior o número de parcelas, menor será o valor de cada uma, por exemplo, se forem 5 parcelas o valor será de \(R\$ \ 360,00\) e no caso de 6 parcelas, o valor será de \(R\$ \ 300,00\).
Atividade 2
Determine a relação de proporção entre as variáveis a seguir
a. Proporção direta: Salário e Horas Trabalhadas
João recebe \(R\$ \ 2.400,00\) por 160 horas de trabalho mensais.
Qual será o valor proporcional se ele trabalhar 100 horas?
Confira a resolução:
E se trabalhar 200 horas?
Confira a resolução:
b. Proporção inversa: Economia e Tempo para guardar dinheiro
Ana quer juntar \(R\$ \ 1200,00\). Se guardar \(R\$ \ 150,00\) reais por mês, será necessário 8 meses para atingir a meta.
Se passar a guardar \(R\$ \ 300,00\) por mês, em quantos meses atingirá a meta?
Sugestão!
Dividindo a meta de \(R\$ 1200,00\) pelo valor mensal poupado de \(R\$ 300,00\) obtemos a quantidade de meses.
Se guardar apenas \(R\$ \ 100,00\), quanto tempo levará?
Importante: Proporcionalidade inversa
Valor poupado mês aumenta ⬆️ → Tempo necessário ⬇️ diminui
Assim obtemos o mesmo resultado no produto direto entre valor mensal \(m\) por quantidade de meses \(t\).
Situação problema
Outro exemplo ilustrativo refere-se à renda de um trabalhador diarista. Nesse caso, cada jornada de trabalho de 8 horas corresponde a um valor fixo de R$ 300,00; assim, quanto maior o número de dias trabalhados, maior será a renda total obtida, e caso não cumpra a carga horária de 8 horas, receberá um valor proporcional às horas. Se ele precisa ganhar mensalMente um valor total de mais de 4 mil reais, a quantidade mínima de dias inteiros de trabalho será de:________
6. Nesse caso, a relação entre o número de dias trabalhados e a renda total é:
( ) diretamente proporcional
( ) inversamente proporcional
Confira sua resposta:
(x) Diretamente proporcional, pois quanto maior o número de dias trabalhados, maior será renda final, por exemplo, se forem 5 diárias o valor será de \(R \$ \ 1500,00\) e no caso de 10 diárias, o valor será de \(R\$ \ 3000,00\). E no cado para receber \(R\$ \ 4000,00\) será necessário 14 diárias.
No gráfico abaixo, a renda do diarista pode ser relacionada a uma função linear \(y = ax\), com variável indenpendente \(x\) e a variável dependete \(y\).
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Atividade 3
Como podemos verificar no gráfico acima, a situação pode ser relacionada a função linear \(y = ax\), com variáveis sendo os dias trabalhados e a renda total do trabalhador.
a) Escreva a função linear, explicando quais são as suas variáveis e a taxa de proporcionalidade.
b) Quanto o trabalhador receberá, caso trabalhe 11 diárias completas e mais 5 metades, isto é, trabalhando 4 horas por dia?
Confira sua resposta:
a) \(x\) é a variável independente que representa a quantidade de diárias realizadas pelo trabalhador e \(y\) é a varável dependente representando a renda total, já que a renda depende da quantidade de diárias. O coeficiente \(a=300\) é a taxa de proporcionalidade, o valor da diária.
b) \(11+5 \cdot 0,5 = 13,5 \cdot 300 = 4050\)
Vamos analisar contextos similares aos anteriores:
7. Um grupo de 8 amigos vai dividir igualmente uma conta de restaurante que totalizou \(R\$ \ 360,00\).
a) Quanto cada pessoa paga se forem apenas 6 amigos forem pagar a conta?
b) E se forem todos os 8 amigos a pagar?
c) Essa relação é de proporcionalidade direta ou inversa? Justifique.
Sugestão!
a) e b) Dividir o valor total pelo número de amigos. c) Conforme aumentou o número de pessoas para dividir a conta, o valor para cada um aumenta ou diminui?
Atividade 4
Compare dois cenários de economia financeira pessoal:
Cenário A: guardar R$ 200,00 por mês durante 12 meses.
Cenário B: guardar R$ 150,00 por mês durante 18 meses.
a) Qual cenário resulta em maior economia ao final?
b) Explique a diferença relacionando com a ideia de proporcionalidade.
c) Construa um tabela ou gráfico comparativo mês a mês
Confira sua resposta:
a) A: \(200 \cdot 12 = 2400\) e B: \(150 \cdot 18 = 2700\).
b) Cada cenário combina valor mensal e tempo ao valor guardado. A taxa de proporcionalidade é o valor mensal guardado em cada cenário, no caso o cenário A é 200 e no cenário B é 150, assim se pode descrever as funções \(y_A= 200x\) e \(y_B=150x\).
c) use as funções descritas na questão b e construa no Desmos os gráficos.
8. Imagine a compra de um notebook que custa \(R\$ \ 2.400,00\), que pode ser pago à vista ou parcelado em até 12 vezes sem juros. A relação entre o número de parcelas e o valor a ser pago em cada parcela é uma relação:
( ) diretamente proporcional
( ) inversamente proporcional
Confira sua resposta:
(x) Inversamente proporcional, pois quanto maior o número de parcelas, menor será o valor mensal pago, por exemplo, se forem 5 parcelas o valor de cada uma será de \(\frac{2400}{5}\), ou seja, \(R \$ \ 480,00\) e no caso de 10 parcelas, o valor será de $R$ \ 240,00
Atividade 5
Escreva a função que relaciona a variável \(x\)(número de parcelas) com a variável \(y\)(valor da parcela).
Confira sua resposta:
O gráfico a seguir ilustra a função.
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9. Na situação de parcelarmos um produto sem juros, como no caso do notebook apresentado anteriormente:
a) O que acontece com o valor da parcela à medida que aumentamos o número de parcelas?
b) Esse comportamento representa qual tipo de proporcionalidade?
( ) diretamente proporcional
( ) inversamente proporciona
Confira sua resposta:
a) O valor da parcela diminui conforme aumenta o número de parcelas.
b) (x) Inversamente proporcional
Voltemos ao caso do diarista, que recebe \(R\$300,00\) reais pela diária de 8 horas. Ele deseja fazer uma viagem, e analisando suas despesas mensais, calculou uma média de gastos de \(R\$4\) mil reais.
Atividade 6
Sabendo que ele pode trabalhar no márixo 22 dias por mês e o plano é realizar uma viagem por ano com a família, então:
a) Qual o valor máximo que consegue poupar para o objetivo de viajar uma vez por ano?
b) Qual o número de diárias completas por mês, em média, serão necessárias para poupar anualmente R$ 4800 reais?
Sugestão!
a) Multiplicar o total de dias pelo valor da diaŕia, subtrair a média de gastos e multiplicar pelos meses do ano.
b) Processo inverso da letra a)
DESAFIO FINAL:
Construa um gráfico de poupança acumulada
Considere que além da reserva financeira para a viagem anual, o diarista decidi investir parte do dinheiro poupado, fazendo depósitos fixos de \(R\$100,00\) por mês durante 24 meses, com taxa de rendimento de \(4\%\) ao mês.
a) Escreva uma função que relaciona o tempo e o valor acumulado (sem contabilizar a atualização por juros mensais).
b) Represente a evolução da poupança em função do tempo no plano cartesiano. (Sugestão Calculadora Desmos).
c) Observe o gráfico construído e descreva como o valor da poupança evolui ao longo do tempo.
d) Elabore duas situação-problema sobre o gráfico construído para desafiar seus colegas a resolverem.
Sugestão!
Utilize a ferramenta Calculadora Desmos online oara construir e analisar o gráfico.